TRIGONOMETRIA

Ángulo Trigonométrico

Es una figura formada por un punto que rota de un origen que viene a ser el que desde una "posición inicial" hasta una "posición final" este ángulo puede superar el orden de los 360º a diferencia del ángulo geométrico Complementos

Existen variedades y deficiones del ángulo trigonométrico:

Angulo positivo: El rayo gira en sentido antihorario.

Angulo negativo: El rayo gira en sentido horario.

Angulo nulo: El rayo no gira.

Angulo de una vuelta: El rayo gira 360º.

Angulo de dos vueltas: Dos rayos "720º".

Angulo de tres vueltas: "1080".

 Sistemas de medicióntarral:

Sistema sexagesimal: Sistema de 360º su unidad es el grado sexagesimal (º)

Sistema cíclico: Es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados

abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia a este sistema se le conoce como ángulo unidad es el radian.

Razones trigonométricas

Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP,  donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:

Seno    sen a = ordenada / radio = y / r
Coseno    cos a = abscisa / radio = x / r
Tangente    tg a = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x
Cotangente    cotg a = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y
Secante    sec a = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x
Cosecante    cosec a = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y

Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:   

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Triángulos Notables

Triángulo Notable de 45º                                                                                Triángulo Notable de 30º y 60º

Triángulo Notable de 15º y 75º                 Triángulo Notable de 18º y 72º            Triángulo Notable de 36º y 54º

Triángulo Notable de 8º y 82º                 Triángulo Notable de 16º y 74º              Triángulo Notable de 37º y 53º

                           Triángulo Notable de 37º/2                                         Triángulo Notable de 53º/2

Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "lamedición de los triángulos". Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.¹

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas:seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. SENTIDO DE GIRO HORARIO SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO OA : LADO INICIAL ) O A B < ) < POSITIVO ) < NEGATIVO OB : LADO FINAL O: VÉRTICE

2. Son aquellos ángulos trigonométricos que se caracterizan por tener su lado inicial sobre el semieje positivo abscisas, su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas y sus lados final se ubica en cualquier parte del plano cartesiano. Angulos en posición normal L.F. L.F Y L.I :Lado inicial L.F :Lado final 0 : Vértice o X B L.I X : < en P.N (+) B: < EN P.N. (-)

3. Dos o más ángulos en posición normal son coterminales cuando sus lados finales coinciden. Los ángulos son coterminales cuando su diferencia debe dar un número entero de vueltas o revoluciones . Angulos coterminales

4. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS) GRADO : MINUTO : SEGUNDO : 1vuelta= EQUIVALENCIAS.

5. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos Los números B y C deben ser menores de 60 RELACIONES DE CONVERSIÓN GRADOS MINUTOS SEGUNDOS x 60 x 60 x 3600 : 60 : 60 : 3600 < < < < < < < < < < < < Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60 Para convertir de minutos a grados se divide entre 60 Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60 Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600 Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600.

6. EJEMPLO : EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALES CONCLUSIÓN: RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S Al número 36 se le divide entre 60 y Al número 45 se le divide entre 3600

7. EJEMPLO Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal , sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155. SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S Dato : El ángulo mide : SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS) GRADO : MINUTO : SEGUNDO : 1vuelta= EQUIVALENCIAS.

SISTEMA DE MEDIDAS ANGUNLARES

Se entiende por sistemas de medición angular a la clase de mediciones sobre un arco de circunferencia. Son un capítulo básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe saber el concepto de ángulo trigonométrico.

en este sistema de medición angular utilizamos en ángulo como posición de vértice en ángulo C ejemplo en ángulo C es un vértice 0 que se suma a la circunferencia de C+A que llega a un total de C+A= 360º

Es una figura formada por un punto que rota de un origen que viene a ser el que desde una "posición inicial" hasta una "posición final" este ángulo puede superar el orden de los 360º a diferencia del ángulo geométrico Complementos

Existen variedades y deficiones del ángulo trigonométrico :

§  Ángulo positivo: El rayo gira en sentido antihorario.

§  Ángulo negativo: El rayo gira en sentido horario.

§  Ángulo nulo: El rayo no gira.

§  Ángulo de una vuelta: El rayo gira 360º.

§  Ángulo de dos vueltas: Dos rayos "720º".

§  Ángulo de tres vueltas: "1080".

== Sistemas de medicióntarral:

§  Sistema sexagesimal : Sistema de 360º su unidad es el grado sexagesimal (º)

§  Sistema ciclico : Es un ángulo con vértice en el centro de una circuferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circuferencia a este sistema se le conoce como +ángulo unidad es el radian.

EJERCICIOS

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

1 3 rad

2 2π/5rad.

3 3π/10 rad.

2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1 316°

2 10°

3 127º

3 Sabiendo que cos α = ¼ , y que  270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

4 Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

5 Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas.

6 Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1 225°

2 330°

3 2655°

4  −840º

7Comprobar las identidades:

1

2

3

4

Razones Trigonometricos de Ángulos Notables

Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber laproporción existente entre sus lados.Como por ejemplo:Triángulo Notable de 45º y 45º

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir lasrazones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MAGNITUD

Consideramos como “Funciones trigonometrícas para ángulos de cualquier magnitud” a aquellas funciones que extienden el concepto de (Razones trigonometrícas) a todos los elementos de un cuerpo real o complejo. Tal es el caso de los números reales o los números complejos.

Definimos esta como seis funciones básicas:

1.- Seno.
2.- Coseno.
3.- Tangente.
4.- Cotangente.
5.- Secante.
6.- Cosecante.

La unica diferencia en cuanto a noción de estás con respecto a las razones, es lo valores para los cuales se encuentran definidas.

Pues el caso de las (Razones trigonometrícas) estas en sí son funciones también, pero de una magnitud limitada en cuanto a ángulo se refiere. (0<ángulo<π/2).

A diferencia de cuando uno se refiere a funciones trigonometrícas intuyendo la definición para cualquier magnitud que pueda tomar el ángulo.

De tal manera, que podemos deducir que el término (Funciones trigonometrícas para ángulos agudos - Razones trigonometrícas) en realidad en un subconjunto de lo que todo el concepto de (Funciones) significa en general.

Conceptualizandolas en una circunferencia de radio (Longitud 1). Más que nada, por el por el simple hecho de la extensión que se busca con las otras..

Definiciones como funciones:

REDUCCIÓN DE UN ÁNGULO AL PRIMER CUADRANTE

Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes razones trigonométricas dependen de su posición.

Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos.

Las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos situados en los distintos cuadrantes resultaba esencial cuando no se disponía de calculadoras. Existían tablas con los valores de las razones para ángulos del primer cuadrante. Los demás ángulos no figuraban en la tabla pues no era necesario: bastaba con reducirlo al primer cuadrante.

No obstante el tema sigue siendo de interés para aplicar las razones trigonométricas inversas, es decir, para determinar un ángulo conocida una de sus razones trigonométricas. Como sabemos, si buscamos un ángulo a partir de una razón trigonométrica, la calculadora nos proporciona sólo una solución. Nosotros encontraremos el resto de soluciones con los conocimientos adquiridos en esta unidad.

Trabajaremos con circunferencias goniométricas, es decir, de radio 1.

Ejercicios

Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1225°

2 330°

3 2675°

4  −840º

5 -150º

61740°

Ángulos notables

Razones trigonométricas de 30º y 60º

La altura divide al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 60º y 30º.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras obetenemos la altura en función del lado:

Razones trigonométricas de 45º

La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 45º y 45º.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras obetenemos la diagonal en función del lado:

Razones trigonométricas de ángulos notables

Circunferencia trigonometrica

1. Circunferencia trigonometrica

·         2. Definición: Es una circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas rectangulares (x;y) cuyo centro coincide con el origen de dicho sistema. Esta circunferencia tiene como característica fundamental, el valor del radio que es la unidad (R=1). Esta circunferencia trigonométrica sirve para representar a las líneas trigonométricas.

·         3. Elementos de la circunferencia: a) O(0;0): origen de la circunferencia. b) A(1;0): origen de arcos, al partir del cual se miden los ángulos trigonométricos es decir positivos, negativos y de cualquier magnitud. c) B(0;1): origen de complementarios. d) A`(-1;0): origen de suplementos. e) B`(0;-1): sin denominación específica. * P(x,;): punto “P” de coordenadas (x;y)

·         4. Propiedades convencionales: a ) Radio de la circunferencia igual a la UNIDAD (R=1) b) Cuatro cuadrantes numerados, cada uno de los cuales mide 9 0º , 100 g ó π/2rad. c) Se adoptan los signos de los ejes coordenadas o sea los segmentos y son positivos y son negativos.

·         5. Características de la circunferencia trigonométrica: Por fórmula: θ= L/R ; R=1 θ= L/1 ; θ=L (solo se cumple numéricamente) “ Es decir que el numero de radianes del ángulo central es igual a la longitud del arco pero solo como arco numérico” tg45 º = tg π/4rad. = tg π/4 = tg 0,7854=1 Angulo en grados Ángulos en Arco Números Real sexagesimales radianes numérico (R)